Algebra Intermedia Allen R Angel Pdf Ejercicios Resueltos
Álgebra intermedia de Allen R. Angel: una reseña
Álgebra intermedia de Allen R. Angel: una reseña
El álgebra intermedia es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y operaciones de los números reales, las funciones, las ecuaciones, las inecuaciones, los sistemas de ecuaciones, las matrices, los determinantes, las sucesiones, las series, la combinatoria y la probabilidad. Es un curso que suele impartirse en el nivel medio superior o en el primer año de la educación superior, y que sirve como base para cursos posteriores de cálculo, álgebra lineal, geometría analítica y estadística.
Uno de los libros más populares y utilizados para el aprendizaje del álgebra intermedia es el escrito por Allen R. Angel, un profesor emérito de matemáticas del Monroe Community College en Rochester, Nueva York. Este libro, que ha sido publicado en varias ediciones desde 1987, se caracteriza por su enfoque pedagógico, su claridad expositiva, su abundancia de ejemplos y ejercicios, y su uso de recursos tecnológicos como calculadoras y software matemático.
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Contenido del libro
El libro de Álgebra intermedia de Allen R. Angel consta de 14 capítulos que abarcan los siguientes temas:
Capítulo 1: Conceptos básicos del álgebra. En este capítulo se repasan las operaciones con números reales, las propiedades de los números reales, el orden de las operaciones, los exponentes y radicales, los polinomios y los factores comunes.
Capítulo 2: Ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable. En este capítulo se estudian las técnicas para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable, así como sus aplicaciones a problemas verbales.
Capítulo 3: Ecuaciones e inecuaciones lineales en dos variables. En este capítulo se introducen los conceptos de recta, pendiente, intersección y paralelismo, y se aprende a graficar y resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en dos variables.
Capítulo 4: Sistemas de ecuaciones lineales. En este capítulo se presentan los métodos de sustitución, eliminación e inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos o más variables, así como sus aplicaciones a problemas verbales.
Capítulo 5: Ecuaciones cuadráticas y funciones cuadráticas. En este capítulo se exploran las propiedades de las ecuaciones cuadráticas y las funciones cuadráticas, y se aprende a resolverlas mediante factorización, completando el cuadrado o la fórmula general. También se estudian las formas canónica y general de una función cuadrática, su gráfica llamada parábola, su vértice y sus raíces.
Capítulo 6: Ecuaciones polinomiales y funciones polinomiales. En este capítulo se generalizan los conceptos del capítulo anterior a las ecuaciones polinomiales y las funciones polinomiales de grado mayor que dos. Se aprende a resolverlas mediante el teorema del residuo, el teorema del factor y la regla de los signos de Descartes. También se estudian las características generales de la gráfica de una función polinomial, sus extremos locales y globales, sus puntos críticos y sus puntos de inflexión.
Capítulo 7: Ecuaciones racionales y funciones racionales. En este capítulo se definen las ecuaciones racionales y las funciones racionales como aquellas que involucran fracciones algebraicas. Se aprende a resolverlas mediante operaciones con fracciones algebraicas o mediante el método de la multiplicación cruzada. También se analizan las propiedades de la gráfica de una función racional, sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, sus intersecciones con los ejes y su comportamiento en el infinito.
Capítulo 8: Ecuaciones radicales y funciones radicales. En este capítulo se introducen las ecuaciones radicales y las funciones radicales como aquellas que contienen raíces de índice arbitrario. Se aprende a resolverlas mediante la eliminación de las raíces o mediante el método de la potenciación. También se examinan las características de la gráfica de una función radical, su dominio, su rango y su simetría.
Capítulo 9: Ecuaciones exponenciales y funciones exponenciales. En este capítulo se presentan las ecuaciones exponenciales y las funciones exponenciales como aquellas que tienen una variable en el exponente. Se aprende a resolverlas mediante el uso de las propiedades de los exponentes o mediante el uso de logaritmos. También se exploran las propiedades de la gráfica de una función exponencial, su crecimiento o decrecimiento, su intersección con el eje y y su asíntota horizontal.
Capítulo 10: Ecuaciones logarítmicas y funciones logarítmicas. En este capítulo se introducen las ecuaciones logarítmicas y las funciones logarítmicas como aquellas que tienen una variable en el argumento del logaritmo. Se aprende a resolverlas mediante el uso de las propiedades de los logaritmos o mediante el uso de exponentes. También se investigan las propiedades de la gráfica de una función logarítmica, su crecimiento o decrecimiento, su intersección con el eje x y su asíntota vertical.
Capítulo 11: Matrices y determinantes. En este capítulo se definen las matrices y los determinantes como arreglos rectangulares de números reales. Se aprende a realizar operaciones con matrices y determinantes, como suma, resta, multiplicación, inversa y adjunta. También se aplica el uso de matrices y determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan o la regla de Cramer.
Capítulo 12: Sucesiones y series. En este capítulo se estudian las sucesiones y las series como listas ordenadas o sumas finitas o infinitas de términos. Se aprende a encontrar los términos generales, los términos parciales y las sumas parciales de una sucesión o una serie. También se analizan los criterios de convergencia o divergencia de una serie infinita, como el criterio del cociente, el criterio del límite o el criterio de la integral.
Capítulo 13: Combinatoria y probabilidad. En este capítulo se introducen los conceptos de combinatoria y probabilidad como herramientas para contar y medir la posibilidad de que ocurra un evento. Se aprende a calcular el número de permutaciones, combinaciones y arreglos con o sin repetición de un conjunto finito de elementos. También se aprende a calcular la probabilidad de un evento simple o compuesto, dependiente o independiente, mutuamente excluyente o no excluyente, usando la regla del producto, la regla de la suma o el teorema de Bayes.
Capítulo 14: Temas adicionales. En este capítulo se presentan algunos temas adicionales que complementan el estudio del álgebra intermedia, como las funciones inversas, las funciones compuestas, las ecuaciones con valor absoluto, las ecuaciones trigonométricas, las ecuaciones cúbicas y cuárticas, y la notación sigma.
Ejercicios resueltos
Uno de los aspectos más destacados del libro de Álgebra intermedia de Allen R. Angel es la gran cantidad y variedad de ejercicios que ofrece al lector para practicar y reforzar los conceptos aprendidos. Cada sección del libro contiene entre 50 y 150 ejercicios clasificados en cuatro categorías: ejercicios básicos, ejercicios intermedios, ejercicios avanzados y ejercicios aplicados. Los ejercicios básicos son aquellos que requieren aplicar directamente la definición o el teorema correspondiente; los ejercicios intermedios son aquellos que requieren combinar varias ejercicios que requieren combinar varias técnicas o conceptos; los ejercicios avanzados son aquellos que requieren un mayor nivel de abstracción o razonamiento; y los ejercicios aplicados son aquellos que requieren modelar una situación real con el álgebra intermedia. Al final de cada capítulo, se incluye una sección de repaso con ejercicios integradores que abarcan todos los temas del capítulo. Además, al final del libro, se incluye un apéndice con las respuestas de los ejercicios impares y algunos ejercicios pares seleccionados.
Para facilitar el aprendizaje del lector, el libro también ofrece una serie de ejercicios resueltos en cada sección, que muestran el procedimiento paso a paso para resolver un problema típico o representativo del tema. Estos ejercicios resueltos sirven como modelos o guías para resolver los ejercicios propuestos, y ayudan a comprender la lógica y la metodología detrás de cada solución. A continuación, se presentan algunos ejemplos de ejercicios resueltos tomados del libro:
Ejemplo 1: Resolver la ecuación cuadrática $$x^2-5x+6=0$$ por factorización.
Solución:
Para resolver una ecuación cuadrática por factorización, se busca expresar el trinomio como el producto de dos binomios de la forma $(x-a)(x-b)=0$, donde $a$ y $b$ son las raíces de la ecuación. Para ello, se busca dos números que sumen el coeficiente lineal y que multipliquen el término independiente. En este caso, los números son $-2$ y $-3$, ya que $(-2)+(-3)=-5$ y $(-2)(-3)=6$. Entonces, se tiene que: $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$$ Aplicando la propiedad del producto nulo, se tiene que: $$x-2=0 \quad \texto \quad x-3=0$$ Resolviendo para $x$, se obtienen las soluciones: $$x=2 \quad \texto \quad x=3$$
Ejemplo 2: Graficar la función racional $$f(x)=\fracx^2-4x^2+4x-12$$ y determinar sus asíntotas.
Solución:
Para graficar una función racional, se siguen los siguientes pasos: 1. Simplificar la función si es posible. En este caso, se puede factorizar el numerador y el denominador de la función como sigue: $$f(x)=\fracx^2-4x^2+4x-12=\frac(x-2)(x+2)(x+6)(x-2)=\fracx+2x+6$$ Se observa que hay un factor común $(x-2)$ que se cancela, pero hay